Le 50/50 est toujours possible : la preuve

Quel que soit l’angle de ton trait, il existe une coupe parfaite. Le théorème des valeurs intermédiaires l’explique, et le théorème du sandwich au jambon va plus loin.

Une promesse mathématique

Dans DemiSemi, tu choisis librement l’angle de ton trait. Quel que soit cet angle, il existe une droite de cette direction qui coupe la forme en deux parts exactement égales. Ce n’est pas une règle du jeu : c’est un théorème.

L’argument du trait qui glisse

Imagine ton trait posé loin d’un côté de la forme. La part située devant lui vaut 0 %. Fais-le glisser, sans changer son angle, jusqu’à l’autre bout : cette part monte jusqu’à 100 %.

Elle monte sans jamais sauter, car déplacer le trait d’un tout petit peu ne change l’aire que d’un tout petit peu. Or une quantité qui passe de 0 à 100 sans sauter passe forcément par 50. C’est le théorème des valeurs intermédiaires, enseigné au lycée.

Une seule bonne position par angle

Pour une forme d’un seul tenant, cette position est unique : tant que le trait traverse la forme, chaque pas en avant fait grossir la part qui est devant lui. Il ne franchit donc la barre des 50 % qu’une seule fois.

C’est cette droite que DemiSemi trace en pointillé après ta coupe : la coupe parfaite avec ton angle. La distance entre les deux droites te dit exactement de combien tu t’es trompé.

Le théorème du sandwich au jambon

Les mathématiciens sont allés beaucoup plus loin. Le théorème du sandwich au jambon, posé par Hugo Steinhaus à la fin des années 1930 puis démontré en toute dimension par Arthur Stone et John Tukey en 1942, affirme qu’on peut toujours couper un sandwich d’un seul coup de couteau bien droit, de sorte que le pain, le jambon et le fromage soient chacun partagés en deux moitiés égales, même s’ils sont posés n’importe comment.

Sa version à plat, parfois appelée théorème des crêpes, dit qu’une seule droite suffit à couper en deux parts égales deux formes posées sur une table, quelles qu’elles soient.

Le théorème de la pizza

Autre résultat étonnant sur le partage équitable : choisis n’importe quel point d’une pizza parfaitement ronde, même loin du centre, et coupe-la en huit parts avec quatre droites qui passent par ce point, à 45 degrés les unes des autres. Les parts sont toutes différentes. Pourtant, si deux convives prennent une part sur deux, ils mangent exactement la même quantité de pizza.

Le problème a été posé en 1967 dans la revue Mathematics Magazine et résolu l’année suivante. En 1994, Larry Carter et Stan Wagon en ont publié une preuve sans calcul, par simple découpage en morceaux qui s’échangent.

Ce que ça change pour toi

Chaque forme du jour a une infinité de coupes parfaites : une par angle. Le jeu ne pénalise donc aucune direction. Ton score dépend seulement de ta façon d’estimer la bonne position, une fois l’angle choisi. Certains angles rendent cette estimation plus facile que d’autres : nos conseils pour couper plus juste expliquent lesquels.